Riska World: LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

I. PENDAHULUAN

Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect), sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.

II. PERNYATAAN

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK

Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika.

Contoh:

1. Jakarta adalah ibukota negara RI

2. Merah putih adalah bendera negara RI

3. 2 adalah bilangan prima yang genap

4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

Soal:

Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai kebenarannya!

IV. OPERASI LOGIKA

Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah

1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “

2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ Ù “

3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ Ú “

4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ Þ “

5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “ Û “

Contoh pernyataan majemuk:

1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

2. Ani dan Ana anak kembar

3. Cuaca hari ini mendung atau cerah

4. Jika x = 0 maka

5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

V. TABEL KEBENARAN

1. Operasi Negasi

Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang

berlawanan

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p ~ p

B S

S B

Contoh:

p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2. Operasi Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ Ù “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai

benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p q p Ù q

B B B

B S S

S B S

S S S

3. Operasi Disjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ Ú “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu

komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar

jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Disjungsi Inklusif: Disjungsi Eksklusif:

p q p Ú q p q p

B B B B B S

B S B B S B

S B B S B B

S S S S S S

4. Operasi Implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “ Þ “

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan

konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p q p Þ q

B B B

B S S

S B B

S S B

5. Operasi Bi-implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan “ Û “

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya

mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya

mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p q p Û q

B B B

B S S

S B S

S S B

VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN

Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:

1. Kontradiksi

2. Tautologi

3. Kontingensi

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

Contoh:

Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

( ~p Ù q ) v ( q à p )

p q ~ p ~ p Ù q q à p ( ~p Ù q ) v ( q à p )

B B S S B B

B S S S B B

S B B B S B

S S B S B B

Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu tautologi

Soal:

Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

1. ( p Ù q ) à p

2. ( p à q ) à [ ( ~ q Ù r ) à ( r Ù p ) ]

3. ( p v q ) à ( ~ p à q )

VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS

Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis.

Contoh:

p q p à q ( p à q ) Ù p [ ( p à q ) Ù p ] à p

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi “ º “ atau “ » “

Contoh:

p q p Û q p à q q à p ( p à q ) Ù ( q à p )

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

Karena p Û q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p à q ) Ù ( q à p ), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.

Jadi, p Û q » ( p à q ) Ù ( q à p )

Soal:

Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen logis!

1. [( p à q ) v r ] à [( p Ù ~ q ) v r]

2. [ ~ ( p Ù q )] º ( p à q )

VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

· Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi q à p disebut konvers

· Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ p à ~ q disebut invers

· Jika suatu bentuk implikasi p à q diubah menjadi ~ q à ~ p disebut kontraposisi

Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

konvers

p à q q à p

invers kontraposisi invers

~p à ~q ~q à ~p

konvers

Contoh:

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “

Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar

Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah

Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Soal:

Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk sudut siku-siku

2. Jika x = 3 maka

= 9

IX. PENGERTIAN KUANTOR

Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.

Kuantor dibedakan atas:

1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “

”

2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “

“

Contoh:

Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5

Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka:

x, x + 3 > 5 ( S )

atau

x, x + 3 > 5 ( B )

Jika x Î bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!

1. (

x) (

y ) ( x + 2y = 7 )

2. (

x) (

y) (x + 2y = x)

3. (

x) (

y) ( x > y )

4. (

x) (

y) ( x.y = 1 )

X. PERNYATAAN BERKUANTOR

Contoh pernyataan berkuantor:

1. Semua manusia fana

2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa

3. Ada bunga mawar yang berwarna merah

4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter

Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah

x, M(x) à F(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!

1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )

2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )

3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )

4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )

XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.

Contoh:

Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah

“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:

x, M(x) à

, negasinya

x, M(x) Ù T(x)

Soal:

Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal sebelumnya!

XII. ARGUMEN

Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.

Contoh:

1. p à q

2. p / \ q

1. ( p à q ) Ù ( r à s )

2. ~ q v ~ s / \~ p v ~ r

1. p

2. q / \p Ù q

XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

Bukti keabsahan argumen dapat melalui:

1. Tabel Kebenaran

2. Aturan Penyimpulan

Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Buktikan keabsahan argumen

1. 1. p à q

2. ~ q / \~p

2. 1. a à b

2. c à d

3. ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c

Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

p q ~p ~q p à q [( p à q) Ù ~q] [(p à q) Ù ~q] à ~p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen sah

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan

1. a à b

2. c à d

3. ( ~b v ~d ) Ù ( ~a v ~b )/ \~a v ~c

4. ( a à b ) Ù ( c à d ) 1,2 Conj

5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl

6. ~ a v ~c 4,5 DD

Soal:

Buktikan keabsahan argumen:

1. e à ( f Ù ~g)

2. ( f v g ) à h

3. e / \h

XIV. ATURAN PENYIMPULAN

1. Modus Ponens (MP)

p à q

p / \ q

2. Modus Tolens (MT)

p à q

~q / \~p

3. Hypothetical Syllogisme (HS)

p à q

q à r / \p à r

4. Disjunctive Syllogisme (DS)

p v q

~ p / \ q

5. Constructive Dillema (CD)

( p à q ) Ù ( r à s )

p v r / \q v s

6. Destructive Dillema (DD)

( p à q ) Ù ( r à s )

~ q v ~ s / \~p v ~r

7. Conjunction (Conj)

q / \p Ù q

8. Simplification (Simpl)

p Ù q

9. Addition ( Add)

\p v q

XV. ATURAN PENGGANTIAN

1. De Morgan

a. ~ ( p Ù q ) º ~ p V ~ q

b. ~ ( p V q ) º ~ p Ù ~ q

2. Komutatif

a. ( p Ù q ) º ( q Ù p )

b. ( p V q ) º ( q V p )

3. Asosiatif

a. ( p V q ) V r º p V ( q V r )

b. ( p Ù q ) Ù r º p Ù ( q Ù r )

4. Distributif

a. ( p V q ) Ù r º ( p Ù r ) V ( q Ù r )

b. ( p Ù q ) V r º ( p V r ) Ù ( q V r )

5. Dobel Negasi

~ ( ~ p ) º p

6. Implikasi

p à q º ~ p V q

7. Material Equivalen

a. p Û q º ( p à q ) Ù ( q à p )

b. p Û q º ( p Ù q ) V ( ~ p Ù ~ q )

8. Eksportasi

p à ( q à r ) º ( p Ù q ) à r

9. Transposisi

p à q º ~ q à ~ p

10. Tautologi

a. ( p v p ) º p

b. ( p Ù p ) º p

Contoh:

Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!

1. a à ( bà c )

2. c à ( d Ù e ) / \a à ( b à d )

3. ( a Ù b ) à c 1, Eksportasi

4. ( a Ù b ) à ( d Ù e ) 3,4, Hypothetical Syllogisme

5. ~ ( a Ù b ) V ( d Ù e ) 4, Implikasi

6. ( ~ a V ~ b ) V ( d Ù e ) 5, De Morgan

7. [(~ a V ~ b ) V d ] Ù [(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi

8. (~ a V ~ b ) V d 7, Simplifikasi

9. ~ a V ( ~ b V d ) 8, Asosiasi

10. a à ( b à d ) 9, Implikasi

Soal:

Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

1. ( k V l ) à ~ ( m Ù n )

2. ( ~ m V ~ n ) à ( o Û p )

3. ( o Û p ) à ( q Ù r ) / \( l V k ) à ( r Ù q )

XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN

1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )

"x, B(x) à R(x)

B(x)

R(x)

2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )

$ x, P(x) Ù G(x) 2

P(x) G(x)

3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )

Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap

"x, J(x) à ~ G(x) J(x) ~ G(x)

LEMBAR KERJA

1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi

a. ( p v q ) à ( ~ p à r )

b. [( p à q ) Ù ( q à p )] à ( p Û q )

c. ( p Ù q ) Ù ( p à ~q )

2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini implikasi logis, ekwivalen logis atau tidak kedua-duanya

a. [( p Ù q ) à r] º [( p à ~q ) v r]

b. [( p à q ) à r] à ( p v q )

c. [p à ( q à r )] º [( p Ù q ) à r]

3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

1. j à k

2. j v ( k v ~l )

3. ~ k / \ ~l v ~k

4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam notasi logika!

a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah (B(x), M(x))

b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar ulang (M(x), U(x))

c. Ada bilangan prima yang genap (P(x), G(x))

d. Beberapa tamu yang datang pejabat negara (T(x), P(x))

e. Tidak semua penumpang memiliki karcis (P(x), K(x))

SELAMAT BEKERJA

KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA

1. KOMBINATORIK

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut:

1. Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu?

2. Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila

r < n?

3. Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?

Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik

Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk menyelesaikan persoalan kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.

Contoh:

Untuk Prinsip Penjumlahan

· Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota.

a. Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi anggota bulutangkis, maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota

Jika kedua himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub

ditambahkan.

b. Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu:

(i) Himpunan I terdiri dari pemain sepak bola saja

(ii) Himpunan II terdiri dari pemain bulutangkis saja

(iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan bulutangkis

Ketiga himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7

dan 7, dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53

Cara lain untuk memperoleh hasil di atas adalah dengan rumus

n ( A È B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A Ç B )

· Untuk Prinsip Perkalian

Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan berapa banyak cara Ahmad bepergian dari kota A ke kota C?

A B C

Dengan demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota

A ke kota C adalah 3 . 2 = 6 cara

Soal:

Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8

a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka diketahui.

b. Tuliskan semua bilangan tersebut

c. Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil

1.1. Permutasi

Definisi:

Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi dari n unsur tersebut.

Definisi:

Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n

dan 0! = 1

Sifat 1:

Banyaknya permutasi dari r unsur ( r £ n ) yang diambil dari n unsur berbeda

adalah :

Sifat 2:

Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-

masing muncul

kali adalah:

Sifat 3:

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )!

1.2. Kombinasi

Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek.

Sifat :

Kombinasi r unsur ( r £ n ) dari n unsur adalah:

1.3. Binomium Newton

Soal:

1. Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

a. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam angka yang diketahui terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali

b. Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genap

c. Berapa banyak yang lebih besar dari 330

2. Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk lingkaran?

3. Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk:

a. tanpa pembatasan?

b. dengan dua pria dan seorang wanita?

c. dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia?

4. Tentukan koefisien

dari (2x - 3)

2. PELUANG

2.1. Pendahuluan

Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.

Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.

2.2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan

Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “

Contoh:

1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam

S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G }

S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.

Contoh:

1. Pada percobaan melempar sebuah dadu.

a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:

A = { 2, 4, 6 }

b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka:

B = { 2, 3, 5 }

c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:

C = { 1, 2, 3, 4, 6 }

2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam.

a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:

P = { AA }

b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:

Q = { AG, GA }

Latihan 1:

1. Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan:

a. Ruang Sampel S

b. Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar

c. Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar

2. 2 buah dadu dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan:

a. Ruang Sampel S

b. Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7

c. Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2

2.3. Peluang Suatu Kejadian

Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif

Contoh:

1. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka =

2. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap

lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28

kali, maka frekuensi relatif muncul gambar =

Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.

Latihan 2:

Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu !

1. Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan 100 kali

Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar!

2. Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif

a. munculnya mata dadu bilangan prima

b. munculnya mata dadu 5

c. munculnya mata dadu 2

Menghitung Peluang Secara Klasik

Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar =

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }

banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam: p =

Jadi, p =

Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.

a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol

b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu

c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1

d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç B = Æ, maka

P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )

e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A Ç B ¹ Æ, maka

P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )

Soal:

1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat dalam bentuk tabel sbb:

Muncul mata dadu	1	2	3	4	5	6
Frekuensi	14	17	20	18	15	16

Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 3

a. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 1

b. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan genap

c. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan prima

2. Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang

3. Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang:

a. Jumlah mata dadu yang muncul 7

b. Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3

c. Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5

2.4. Kejadian Majemuk

Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B = Æ,

maka : P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B )

Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A Ç B ¹ Æ,

maka : P ( A È B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Ç B )

2.5. Peluang Komplemen suatu Kejadian

Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )

2.6. Kejadian Bersyarat

Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat

yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu

atau B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) =

atau

P(A Ç B) = P(A). P(B/A)

2.7. Kejadian Saling Bebas

Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika

P(A Ç B) = P(A) . P(B)

Soal:

1. Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3 diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah

peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV tersebut dan 2 TV ternyata cacat?

2. Tiga buah buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan sebuah kamus. Berapakah peluang

a. kamus terpilih?

b. dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih?

3. Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?

4. Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah:

a. P(A È B)

b. P(A’)

c. P(A’ Ç B)

5. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5?

3. STATISTIKA

Pengertian Statistika dan Statistik

Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika

terdiri dari dua kegiatan:

a. Mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut.

b. Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang.

Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan (b) disebut Statistika Inferensial.

Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti maknanya disebut statistik.

Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu dari data. Nilai ukuran terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median, modus, jangkauan data, kuartil, desil dan persentil disebut statistik.

3.1. Pengertian Populasi, Sampel dan Data

Definisi:

Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti. Sampel adalah sub kumpulan obyek atau benda yang merupakan bagian dari populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah suatu informasi yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan demikian data adalah kumpulan dari datum-datum.

3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah, Median dan Kuartil Atas)

Median adalah data tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan.

Jika n ganjil, maka

merupakan bilangan bulat, sehingga median adalah datum yang ke

, sedangkan jika n ganjil, maka median adalah

Contoh:

Tentukan statistik lima serangkai dari data:

79, 63, 94, 100, 83, 92, 78, 62, 53, 84, 76

Jawab:

Data diurutkan terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100

Ukuran terkecil : 53

Ukuran terbesar : 100

Kuartil 1 (Q1) :

Median : 79

Kuartil 3 (Q3) :

3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga

Rataan Kuartil =

Rataan Tiga =

3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar Luar.

Definisi:

· Jangkauan data atau Rentangan data adalah selisih antara nilai

maksimum dan nilai minimum dari data.

J =

· Jangkauan antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil

bawah.

H =

, Jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan

· Satu langkah didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan hamparan dan L menyatakan satu langkah maka:

L = 1,5 x H

· Pagar Dalam dan Pagar Luar

Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di bawah nilai kuartil bawah

dan Pagar Luar (PL) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil atas

PD =

- L dan PL =

+ L

3.5. Penyajian Data dalam bentuk Diagram

Penyajian data dalam bentuk diagram, misalnya:

a. Diagram Kotak Garis

b. Diagram Batang Daun

c. Diagram Batang

d. Diagram Garis

e. Diagram Lingkaran

3.6. Daftar Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif,

Histogram

Frekuensi, Poligon Frekuensi dan Ogive

· Daftar Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut.

· Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi total dikalikan 100%

· Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi dengan frekuensi kelas sebelumnya.

· Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif.

· Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah titik tengah pada histogram

· Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif

3.7. Data Statistika Deskriptif

Ukuran-ukuran Tendensi Sentral

· Rataan Hitung, Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan

Rataan Kuadratis

Rataan Hitung

Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu:

, rataan hitung adalah

atau

Rataan untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

Rataan Geometris

Misalkan data bernilai positif terdiri atas

. Rataan geometris

dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:

Rataan Harmonis

Misalkan data bernilai positif terdiri atas

. Rataan harmonis

dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi

Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis

Misalkan diketahui data

bilangan-bilangan positif. Rataan

geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar atau

sama dengan rataan harmonis

Jadi: h £ g £

Rataan Kuadratis

Misalkan data terdiri atas

. Rataan kuadratis dinyatakan

oleh k adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau

Modus, Median, Kuartil, Desil dan Persentil

Modus adalah nilai yang paling banyak muncul.

Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi

Nilai Modus :

L = batas bawah limit kelas modus

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = panjang kelas modus

Median data dalam daftar distribusi frekuensi

Median ( M

L = batas bawah limit kelas median

n = ukuran data

frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

c = panjang kelas median

Kuartil, Desil dan Persentil

Untuk data tunggal kuartil adalah nilai data yang ke

, i =1, 2, 3

Jika i = 1 disebut kuartil bawah (Q1)

Jika i = 2 disebut kuartil tengah (Q2) atau Median

Jika i = 3 disebut kuartil atas (Q3)

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

Kuartil (Qi) =

dimana i = 1, 2, 3

L = batas bawah limit kelas Qi

n = ukuran data

frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

f = frekuensi kelas Qi

c = panjang kelas Qi

Untuk Desil dan Persentil caranya sama, yaitu

Desil nilai data yang ke

Persentil nilai data yang ke

3.8. Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah

a. Simpangan Rata-rata

b. Ragam (Variansi) dan Simpangan baku

c. Koefisien Keragaman

d. Angka Baku

a. Simpangan Rata-rata

Definisi:

Misalkan nilai-nilai data tunggal:

, maka simpangan rata-rata

SR =

, dimana

= rataan hitung dan n = ukuran data

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah

SR =

, dimana

n = ukuran data, k = banyaknya kelas dan

= frekuensi kelas ke i

dan

titik tengah kelas ke i

Ragam (Variansi) dan Simpangan baku

Misalkan nilai-nilai data tunggal:

, maka ragam (variansi)

adalah:

sedangkan simpangan baku adalah

Ragam dan simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah

sedangkan simpangan baku adalah

, dimana

frekuensi kelas ke i dan

titik tengah kelas ke i

Koefisien Keragaman

Koefisien Keragaman (V) =

Koefisien Keragaman dinyatakan dalam prosen:

V =

Angka Baku

Misalkan suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung

dan simpangan baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh

LEMBAR KERJA

Kerjakan soal-soal di bawah ini!

1. a. Berapa carakah dapat dibuat antrian masuk ke bis yang terdiri atas lima

orang?

b. Bila dua orang tidak saling mengikuti, ada berapa cara antrian yang dapat terjadi?

2. Dalam berapa macam cara yang berbedakah suatu ujian yang terdiri atas delapan soal dengan jawaban benar salah dapat dijawab?

3. Dari suatu kotak yang berisi empat bola hitam dan dua bola hijau, tiga bola diambil secara berturutan. Tiap bola dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya. Tentukan peluang bola hijau yang terambil!

4. Suatu kota mempunyai dua mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling bebas. Peluang suatu mobil tertentu tersedia bila dibutuhkan adalah 0,99

a. Berapakah peluang keduanya tidak tersedia bila dibutuhkan?

b. Berapakah peluang suatu mobil tersedia bila dibutuhkan?

5. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata pelajaran statistika:

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

Susunlah skor nilai di atas ke dalam daftar distribusi frekuensi, kemudian buatlah

histogram, poligon frekuensi dan ogive

Hitunglah:

a. Rataan hitung

b. Modus

c. Median

d. Simpangan Kuartil

e. Koefisien Keragaman (V)

f. Selidiki pula apakah skor nilai di atas mengandung pencilan atau tidak!

SELAMAT BEKERJA

PRETES LOGIKA, PELUANG DAN STATISTIKA

1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

[ ( p à ~p)

q ] à ~ r

2. Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini implikasi logis!

[( p

q ) à r] à [ p à (q à r)]

3. Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ini ekwivalen logis!

[ (p à q)

(q à r)]

( p à r)

4. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

Jika dia mempelajari science maka dia akan mempersiapkan dirinya untuk mempersiapkan penghasilan yang baik dan jika dia mempelajari kemanusiaan maka dia mempersiapkan diri bagi suatu kehidupan yang baik.

Jika dia mempelajari science atau mempersiapkan diri bagi suatu kehidupan yang baik, maka tahun-tahun ajarannya dimanfaatkan secara baik.

Tahun-tahun ajarannya tidak dimanfaatkan secara baik.

Oleh karena itu, dia tidak mempelajari science dan tidak mempelajari kemanusiaan. (s, p, m, h, t)

5. Sebuah mata uang yang tidak setimbang dilantunkan sebanyak 3 kali. Peluang muncul angka dua kali peluang muncul gambar, tentukan peluang:

a. muncul tepat 2 gambar

b. paling sedikit muncul 1 angka

6. Dalam sebuah kotak terdapat 3 kelereng warna hijau, 2 kelereng warna merah dan 4 kelereng warna biru. Lima kelereng diambil secara acak dari dalam kotak tersebut, tentukan peluang diperoleh 2 kelereng biru dan paling sedikit satu kelereng hijau !

7. Terdapat angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 akan disusun bilangan yang terdiri dari

3 digit (tanpa pengulangan), berapakah banyaknya bilangan ganjil yang

terbentuk?

8. Dari kelompok yang terdiri dari lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggota tiga orang dapat dibuat

a. tanpa pembatasan?

b. dengan dua pria dan satu wanita?

c. dengan seorang pria dan dua wanita, bila seorang wanita tertentu harus ikut

dalam panitia?

9. Disajikan data sbb: 60, 60, 75, 70, 45, 50, 65, 85

Hitung rataan, modus dan median dari data di atas!

10. Rata-rata nilai matematika dari 35 siswa adalah 67. Bila seorang siswa mengikuti ulangan susulan dan nilainya digabung, maka rata-ratanya menjadi 67,5. Berapakah nilai siswa yang mengikuti ujian susulan?

POSTES LOGIKA, PELUANG DAN STATISTIKA

1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontingensi!

[ (~p V q) à ~ r]

[ r à ( p

~ q)]

2. Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini implikasi logis!

( p

q ) à [ ( p

q ) v (~ p

~ q)]

3. Tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ini ekwivalen logis!

[ ~ ( p v q ) v r ]

[ ( p à r )

( q à r) ]

4. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

Jika harga jatuh atau upah naik maka pedagang eceran meningkat dan kesibukan iklan akan meningkat. Jika pedagang eceran meningkat maka pedagang kecil akan mendapat banyak uang. Pedagang kecil tidak mendapat banyak uang.

Oleh karena itu, harga tidak jatuh ( h, u, c, i, k )

5. Sebuah dadu yang tidak setimbang dilantunkan. Peluang muncul mata dadu ganjil dua kali peluang muncul mata dadu genap. Tentukan peluang muncul mata dadu bentuk kuadrat bila lebih besar dari 3?

6. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kotak I yang berisi 4 kelereng warna putih dan 5 kelereng warna merah, kemudian kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kotak II yang berisi 5 kelereng warna putih dan 5 kelereng warna merah. Jika sebuah kelereng diambil secara acak dari dalam kotak II, berapakah peluang kelereng yang terambil berwarna putih?

7. Terdapat angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 akan disusun bilangan yang terdiri dari

3 digit (tanpa pengulangan), berapakah banyaknya bilangan yang lebih besar dari

330?

8. Suatu himpunan mahasiswa asing beranggotakan dua orang Kanada, tiga Jepang, lima Itali dan dua Jerman. Bila suatu panitia yang terdiri dari empat orang dibentuk secara acak, berapakah peluang tiap bangsa terwakili?

9. Disajikan data sbb: 60, 60, 75, 70, 45, 50, 65, 85

Hitung: rata-rata simpangan dan simpangan kuartil

10. Disajikan data sbb: